3D-Mathematics - 3D Model

Geometry
Solids with curved surfaces, curved surfaces
Ball, Sphere
Volume - formula - circular disc method (Cavalieri)

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Diese Serie von Modellen zeigt geometrische Körper, die durch gekrümmte Flächen begrenzt sind und behandelt ihre Berechnung. Gekrümmte Flächen folgen weiter unten.

Wir zeigen nun noch einen Weg zur Bestimmung des Volumens einer Kugel - die sogenannte Scheibenmethode nach Cavalieri; anstatt von Scheiben spricht man auch von Treppenkörpern (um weitere Modelle zu diesem Ansatz zu sehen in der Galerie im ‚Freitext‘-Feld ‚Cavalieri‘ eingeben, s. a. ‚Quellen‘).

Links: Hier wird die Höhe einer Halbkugel in vier gleich große Teile geteilt, sodass ihr drei Scheiben in der Form von Zylindern einbeschrieben werden können, deren Volumen sehr leicht berechnet und anschließend aufaddiert werden kann. Diese grobe Teilung führt zu einer recht ungenauen Abschätzung des Kegelvolumens (hinten rot).

Mitte: Hier ist die Teilung verfeinert und die Zahl der Scheiben bzw. Treppenstufen erhöht. Die Berechnung erfolgt wie eben und die Abschätzung des Volumens wird schon deutlich besser (hinten rot).

Rechts: Verfeinert man diese Teilung beliebig weiter, gelangt man schließlich zum Volumen der Halbkugel - einem Grenzwert. Die mathematische Herleitung ist anspruchsvoll, aber auch nachvollziehbar!

Wir haben hier ‚einbeschriebene‘ Scheiben (Treppenkörper) verwendet, die innerhalb der Halbkugel liegen. Man kann aber auch ‚umbeschreibende‘ Scheiben (bzw. Treppenkörper) verwenden - mit dem gleichen Grenzwert.